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函数
爱德思国际 A-Level · 数学 · 纯数学 3 · WMA13 · 18 分钟
学习目标
- 定义域与值域
- 复合函数
- 反函数
- 模函数
1. 函数是什么
Mapping
函数把定义域 domain 里的每一个 x，送到唯一一个 y。值域 range 是实际取到的那些 y。
一对一 one-one：不同的 x 不会送到同一个 y。多对一 many-one 仍然可以是函数，例如 y = x²。一对多不是函数。
2. 复合
Composite functions
CIE 规定 fg(x) = f(g(x))。先做右边的 g，再把结果送进 f。
定义域要同时满足：g(x) 有意义，而且 g(x) 落在 f 的定义域里。
fg(x) = f(g(x))
fg 和 gf 一般不相等。题目写哪一个就做哪一个。
3. 反函数
Inverse
只有 one-one 的函数才有反函数。y = x² 在全体实数上不是 one-one，要先限制定义域，例如 x ≥ 0。
求法：令 y = f(x)，解出 x，再交换字母。定义域和值域对调。
图像上，y = f⁻¹(x) 与 y = f(x) 关于直线 y = x 对称。
f(x) = 2x + 3 ⇒ f⁻¹(x) = (x − 3) / 2
4. 看定义域的两个习惯
Domain checks
分母不能为 0。f(x) = 1/(x − 2) 的定义域是 x ≠ 2。
偶次根号下 ≥ 0。没有根号、没有分母的多项式，定义域通常是全体实数，除非题目另外限制。
求反函数 · 2 marks
f(x) = 2x + 3。求 f⁻¹(x)。
- 令 y = 2x + 3。
- x = (y − 3) / 2。
- 交换字母：f⁻¹(x) = (x − 3) / 2。
f⁻¹(x) = (x − 3) / 2
复合的顺序 · 2 marks
f(x) = x + 1，g(x) = 2x。求 fg(3)。
- 先做 g：g(3) = 6。
- 再做 f：f(6) = 7。
- 所以 fg(3) = 7。若做成 gf(3) 会得到 8，那是另一题。
fg(3) = 7
读题：command words
- State写一句结论，不要展开。
- Define用精确意义，不要只举例子。
- Calculate公式、代入、单位、有效数字。
- Show that从已知推到题目给的结果，过程要看得见。
- Explain因为什么，所以什么。复述定义不算解释。
- Sketch标截距、顶点或方向，不必描很多点。